FENÓMENOS DE ESPERA

Los fenómenos de espera o también llamada teoría de colas es únicamente un modelo del comportamiento del tráfico que se ve todos los días, como lo puede ser un semáforo, la espera en un banco, la fila para conseguir el ticket para un concierto, así como el tráfico que se presenta en el envío de paquetes en redes, siendo este último caso el que se va a analizar. La teoría de colas presenta un panorama del comportamiento de la cola a través del tiempo y el entorno de la misma.

Existen varias definiciones sobre fenómenos de espera, una de ellas es la que menciona Jaime Enrique Varela en el libro Introducción a la Investigación de Operaciones, ya que indica que la teoría de colas se ocupa del análisis matemático de los fenómenos de las líneas de espera o colas. Además, menciona que las colas se presentan con frecuencia cuando se solicita un servicio por parte de una serie de clientes y tanto el servicio como los clientes son de tipo probabilístico.

Por lo anterior el tráfico en redes se puede modelar con la ayuda de la teoría de colas, es por ello que es importante estudiarlas y comprenderlas.

Es asi que con el material de apoyo proporcionado e investigación adicional  podemos decir que los fenómenos de espera o teoría de colas es un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera que se presenta cuando los clientes llegan a un lugar donde se demanda un servicio a un servidor. El servidor debe contar con cierta capacidad de atención hacia en cliente pero en caso de que el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se formará la línea de espera.

EJEMPLOS DE FENOMENOS DE ESPERA

EJEMPLO 1

Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.

Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Número promedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.

Solución: Se conoce la siguiente información:

λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos

µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos

W_q = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)

a)    Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (W_s). Lo podemos calcular a partir de W_q y µ.

 

Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio.

a)    Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula siguiente: Lq= λ W_q.

 

  

Es decir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos clientes en la cola.

a)    Para calcular cual es el número de clientes en la cola (L_s). Lo podemos hacer con la fórmula: L_s= λ W_s.

 

 

Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

EJEMPLO 2

Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes:

a.       ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?

b.      ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola

esperando)

c.       ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)?

d.      ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

Solución: Se conoce la siguiente información:

λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos

µ= 1 clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto

a)    Por tanto :

 

factor de utilización del sistema. Es decir que el sistema permanece ocioso el 33.33%.

b)    ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero?

Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco (incluyendo el tiempo de servicio)?

Nos preguntan por el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema. W_s.

 

a)    ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en el inciso a (1/4*60=15), el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3)(15)= 10 clientes. Esto es ρ*µ= 2/3 * 15 = 10 clientes.

EJEMPLO 3

Durante un período de 8 horas, llegaron 96 carros a la estación de servicio de Joe. Suponiendo que el tiempo entre llegadas tiene una distribución exponencial, use los datos proporcionados para estimar:

a) El valor de la frecuencia de llegadas.

b) El tiempo medio entre llegadas.

c) La razón media de llegadas

Solución:

Población = infinita

Línea de espera =infinita

Tasa de llegadas constante = λ Tasa de servicio constante= μ

a.       Sabemos que 96 carros llegan en 8 horas, necesitamos saber cuántos carros llegan en una hora. Para obtener la tasa de llegada por hora.

 

b.       Tiempo medio entre llegadas.

Esto se saca haciendo: la inversa de la tasa de llegada.

 

      c.       La razón media de llegada.

  

Referencias:

Reza M. y Garcia, E. (1996). Fenómenos de Espera. México : McGraw-Hill.

Guasch Antoni. (2003). Modelado y Simulación. Barcelona: UPC.

Martinez Sinfuentes Hugo. (2003). Simulación de Procesos en Ingeniería Química. México : plazayvaldes

Sarabia Viejo, A. (1996). La investigación operativa. Madrid: UPCO.

Varela, Jaime E. (1982). Introduccion a la investigacion de operaciones. Bogotá: Fondo Educativo Interamericano.

Cauich Ucan Victoria. (2013). Modelo de línea de espera y programación lineal. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/modelo-de-linea-de-espera-y-programacion-lineal/